本文目录

1. 泰勒公式与泰勒中值定理的区别
2. 泰勒中值定理故事
3. 泰勒中值定理推导过程
4. 什么叫拉格朗日中值定理其中的中值是指什么
5. 泰勒中值定理1与2的区别

一、泰勒公式与泰勒中值定理的区别

泰格公示就是把一个函数展开，在满足一定的条件下，函数是可以用泰勒公示展开的，就相当于把一个函数用另一种方法表示，这与傅里叶级数的内涵相同。泰勒中值定理在考研数学证明题中运用很广泛，在满足三个条件的情况下，应用泰勒中值定理。这个定理并不难理解啊，多结合例题，很容易看懂的。

二、泰勒中值定理故事

也许他没有高斯、欧拉等人璀璨的光环，也许他只是高数课本中一闪而过的概念，但是这并不能泯灭他对数学史做出的贡献，以他命名的公式至今仍在数学应用中发光发热。他就是泰勒，没错，那个发明“泰勒公式”和“泰勒级数”的数学家。

1.人物简介

泰勒（BrookTaylor）——18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，于1685年（乙丑年）8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年12月29日于英国伦敦去世。

2.主要成就

泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量，及为流数。他假定z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。

泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。

3.个人生活

然而，就是这样一位伟大的数学家，个人生活却是不幸的。因为和出身名门但没有财产的女人结婚，遭到家人反对而离开家庭。可是两年以后，妻子死去了，第二次结婚的泰勒再一次经历丧妻之痛。泰勒长期遭受健康问题的困扰，但这并没有影响到泰勒对数学的热情，也正因如此，他才发现了那么多定理，为数学做出那么大的贡献

三、泰勒中值定理推导过程

泰勒中值定理推导的过程是利用中间值给出了余项的值，所以看做泰勒中值定理，而皮亚诺余项时，余项仅用高阶无穷小来表示，不能算作中值定理，但是是泰勒公式，泰勒公式常见的可分为两类，区分标准主要体现在余项上。

按余项分类，泰勒公式分两种：一种是带有拉格朗日型余项的，这一类的表述中有“在某区间上存在某值使得某式成立”的含义，所以属于泰勒中值定理。

而另一种（带有佩亚诺余项的），最后一项仅仅用等价无穷小代替了，不能算是中值定理。

四、什么叫拉格朗日中值定理其中的中值是指什么

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

定理表述

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间

上连续；

（2）在开区间

内可导；

那么在开区间

内至少有一点

使等式

成立。

其他形式

记

,令

,则有

上式称为有限增量公式。

我们知道函数的微分

是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当

很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（

不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。

五、泰勒中值定理1与2的区别

一、含义不同：

泰勒中值定理是泰勒公式的一种。首先，要明白什么是中值定理，顾名思义，就是要对“中间”的“值”而言的，即某函数在某区间的某一点或几点上存在的性质。常表述为：“在[，]上必存在点（或至少存在一值）m，使得……成立。”

二、分类不同：

泰勒公式常见的可分为两类，区分标准主要体现在余项上。按余项分类，泰勒公式分两种：一种是带有拉格朗日型余项的，这一类的表述中有“在某区间上存在某值使得某式成立”的含义，所以属于泰勒中值定理。而另一种带有佩亚诺余项的，最后一项用等价无穷小代替，不能算是中值定理。

泰勒公式的余项

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。